超材料是由已知材料按特定方式组合而成的仿生结构，能够展现出天然材料所不具备的新颖特性。在众多应用领域中，超材料在振动隔离、噪声控制、波导和能量 harvesting 技术方面具有广阔的前景。虽然超材料研究的基石通常在于其周期性设计，但当前研究正扩展至准周期性超材料领域，其中平移周期性的缺失既带来了新的挑战，也创造了新的机遇。 在本研究中，我们利用可重构的乐高积木和激光多普勒振动测量技术，阐明了准周期材料的非传统特征，包括局域振动模和定向波控。
在超材料研究中，谐振器被广泛用于构建所谓的“局部共振”超材料。通常，将一组相同的谐振器阵列附着在弹性结构上。这会导致能带隙的出现——即弹性波传播被禁止的频率带，从而在附着点的共振频率附近整体降低振动水平。
多个研究团队正在探索这一思路，将其作为开发振动和隔音材料的极具吸引力的途径。该领域的经典理论是基于由等间距且调谐至相同频率的谐振器组成的周期性结构而发展起来的。近年来，人们开始关注超越周期性结构，探索无序和准周期谐振器阵列的特性。
我们的实验利用乐高积木作为机械谐振器的简易实现（图1）。每个谐振器由一个立柱（黑色）和一个锥体（蓝色）组成。通过沿立柱滑动锥体，可以将谐振频率在约200–350 Hz的最小值和最大值之间进行调节（如图1所示）。 这些谐振器被安装在乐高底座梁或底板上，采用准周期性布局，旨在改变其波传播和振动特性。使用电动力振动台对样品进行振动激励，同时采用Polytec 公司的扫描激光多普勒振动计（SLDV）记录样品平坦表面（即未安装谐振器的一侧）沿方向的频率响应。
在第一项研究中，我们探讨了带有乐高谐振器准周期阵列的一维弹性梁[1]。共将42个谐振器安装在乐高梁上，并按照准周期模式分配了它们的高度。 具体而言，第 n 个谐振器的高度hn由hn=h0+Δh sin (2πθn)给出。该高度由平均高度h0 加上 振幅为Δh、 波长为1/θ的正弦调制组成。参数θ的变化会产生一系列不同的图案；有理数θ值定义周期性图案，而无理数θ值则定义准周期性图案。
通过重新配置样品并进行一系列实验，我们成功捕获了频率响应随θ变化的情况。结果以彩色图形式汇总于图 2 中，其中颜色对应于沿梁跨度平均的响应，该响应随θ（x轴）和频率（y 轴）的变化而变化。 图中，黄色线条标记了与梁共振相关的响应峰值变化，而蓝色区域则对应于导致梁整体振动水平较低的能带隙。值得注意的是，该图形成了一幅类似于霍夫斯塔特蝴蝶（Hofstadter Butterfly）的谱图（因此配有蝴蝶图像）。
原始的“蝴蝶”概念指的是电子在强磁场作用下呈现的分形光谱，由道格拉斯·霍夫斯塔特（Douglas Hofstadter）于20世纪80年代发现，并与量子霍尔效应理论相关。有趣的是，我们的实验通过使用可重构的弹性谐振器，而非带磁场的电子系统，再现了类似的特征。这种惊人的相似性促使我们在《应用物理快报》（Applied Physics Letters）期刊上发表了这篇重点论文[1]。 当然，由于样品尺寸有限，我们仅捕捉到了“分形”光谱中的少数特征。量子霍尔效应的一个显著特征是“边缘态”的出现，即电流仅沿样品边缘传播，而不穿过内部。
类似地，在我们的弹性平台上，这一特征表现为局域在梁边缘的振动模态。图2展示了一个频率约为450 Hz的局域模态示例，并对比了通过有限元分析（FEA）获得的数值结果与振动计测得的实验模态形状。
受这些发现的启发，我们继续探索了固定在基板上的二维正方形乐高晶格的特性[2]。通过对支柱高度进行正弦调制，同样可以获得准周期图案。然而，在这种情况下，相关的θ参数是指正弦调制与空间中固定的支柱之间的扭转角。
我们选择通过扭转实现准周期性，其灵感来源于扭转双层电子系统——该系统展现出电子超导性等非凡特性。在此，我们旨在探究调制函数的扭转角（该角会导致支柱高度形成不同配置从而产生莫尔条纹）如何改变乐高板内的弹性波传播。 我们发现，乐高谐振器的引入使得波在特定频率下在板内具有高度的定向性，而扭转角的变化可以对这种行为产生显著的控制作用。
特别是，扭转角会根据频率的不同，诱导波传播从定向转变为非定向（或反之）。图 3 给出了频率为 430 Hz 时的一个示例，其中展示了数值结果，并对比了扭转角为 0、15、30 和 45 度时的实验结果。 在无扭转的情况下（θ=0），波在板中的传播不具有定向性，其特征为椭圆形波前。 因此，在互空间中作为波数kx、ky的函数（通过傅里叶变换获得）表示的波场，定义了一条闭合的椭圆轮廓。通过增大扭转角并重新配置支柱，该固定频率下的波轮廓会打开并转变为“双曲”轮廓，从而定义出高度定向的波。
此外，波的传播方向会随扭转角的变化而发生扭转。这种转变被称为拓扑转变，因为波等高线会随着波传播从无定向到定向的转变，其形状也从闭合变为开放。我们在《Advanced Science》期刊上发表的研究论文[2]中报告了其他多个实例。
我们的研究成果在简单的乐高积木平台上，生动展示了准周期超材料的非凡特性。这些演示的特性源于量子物质的概念，将其应用于弹性材料后，便产生了非传统的波局域化和波导特性。
乐高搭建方案的简便性使我们能够在桌面实验平台上探索这些复杂现象。展望未来，这些概念可转化为更复杂的超材料实现方案，其中将融入准周期图案，并可能催生出具有卓越振动和波传播特性的新型材料。
